गैलीलियो का विषम संख्याओं का नियम: "विराम अवस्था से गिरते हुए किसी पिंड द्वारा समान समयांतराल में तय की गई दूरियाँ, एक से शुरू होने वाली विषम संख्याओं के अनुपात में होती हैं [अर्थात, $1: 3: 5: 7 \ldots$]". इसे सिद्ध कीजिए।

(N/A) मान लीजिए कि मुक्त रूप से गिरती हुई वस्तु की गति के समयांतराल को हम कई समान अंतरालों $\tau$ में विभाजित करते हैं और क्रमिक समयांतरालों के दौरान तय की गई दूरियों का पता लगाते हैं। चूंकि प्रारंभिक वेग शून्य है, इसलिए समय $t$ पर स्थिति $y$ इस प्रकार दी जाती है:
$y = -\frac{1}{2} g t^2$
इस समीकरण का उपयोग करके, हम $t = 0, \tau, 2\tau, 3\tau, \dots$ समयांतरालों के बाद वस्तु की स्थिति की गणना करते हैं। यदि हम $y_0 = -\frac{1}{2} g \tau^2$ को पहले अंतराल $\tau$ के बाद की स्थिति के रूप में परिभाषित करते हैं, तो $n\tau$ समय पर स्थिति $n^2 y_0$ होगी। $n$ वें अंतराल में तय की गई दूरी $n\tau$ और $(n-1)\tau$ पर स्थिति के बीच का अंतर है:
$n$ वें अंतराल में दूरी $= |n^2 y_0 - (n-1)^2 y_0| = |(n^2 - (n^2 - 2n + 1)) y_0| = (2n - 1) |y_0|$.
$n = 1, 2, 3, 4, \dots$ के लिए, दूरियाँ $1|y_0|, 3|y_0|, 5|y_0|, 7|y_0|, \dots$ हैं। इस प्रकार, दूरियों का अनुपात $1: 3: 5: 7: \dots$ है, जो विषम संख्याएँ हैं। यह नियम गैलीलियो गैलीली ($1564$-$1642$) द्वारा स्थापित किया गया था, जो मुक्त पतन का मात्रात्मक अध्ययन करने वाले पहले व्यक्ति थे।